孔明棋第三关，孔明棋怎么

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说明：写完才发现，文中的很多截图都被csdn打上水印，其实这些截图都来自上述原文，尊重原著！！

根据WIKI孔明棋应该起源于欧洲，原名pegged, 不知道现在怎么和友好的凉面扯上了关系。规则和跳棋相似，但是一个人就可以玩，目标是按照规则移动棋子，最终只有一个棋子留在棋盘上。发展至今，pegged已经发展出很多新的形式，但是最典型的是如下形式

33个棋子，起始可以任意取走一个棋子，典型的第一步是取走中心的棋子，然后按规则移动棋子。 现在的问题是：计算机可以玩这个游戏吗？

考虑下解空间的规模，33个棋子，最终要剩下1个棋子，一个bit表示一个位置上是否有棋子，则可能布局一共有2^32个，在64位机器的时代，这个数不算什么。考虑暴力穷举，从第一步开始就是遍历树，因为只有32个棋子，所以树的深度最大32，深度优先遍历，单纯的递归也可以处理，github上似乎已经有开源的代码了，还利用了hash做剪枝。

本文的重点是翻译开头的网页内容：用群论求解最后余下的那个棋子可能的位置

Peg Solitaire的规则很简单, Pegs可以在水平/竖直方向上跳过相邻的pegs,被跳过的Pegs被消除。

游戏的目的是消除到只剩一个pegs。在central solitaire中，玩家第一步取出的是位于中心的pegs。根据游戏说明，可以让最后一个pegs处于中心位置的人是天才，而其他可以取胜的人只能算是优秀的人。

不久以前，来自idaho大学的Arie Bialostocki利用群论证明最后取胜时，那余下的唯一的pegs只可能在五个位置（如上图的b)

例如，当最后一个pegs位于棋盘最右侧时，figure 1(c)展示的就是倒数第二个移动步骤。讽刺的是，同样是figure1(c)的状态，玩家同样可以让最后一个棋子处于中心位置，从而从“优秀”变成“天才”。有人会权衡两种结果的区别吗？就是因为这个神奇的现象引导Arie Bialostocki得到一个优雅的理论，如下所诉。

figure2(a)给棋盘上每一个位置设置一个字母x,y,z. the arrangement of letters is very special and has been noticed yet in the classic WW,page 706(译注：这一句的WW没看明白，故保留原句。这个字母的布局相当重要，至于怎么会出现如此特殊的设置，下文在另一个文献中或许有所体现，耐心看下去）处于某个字母位置上的pegs跳过另一个字母位置上的pegs总是会落在第三个字母的位置上。

在x,y,z上定义一个操作,用符号+表示(译注:只是借用加法符号，不要理解成加法运算)移动。比如上表的第一行x+y=z表示

peg 从x跳过y后一定会落到z标定的位置上，表中余下各行的含义相同。

定义的这个操作是可交换的。例如z+x=y,同时有x+z=y，所以z+x=x+z. 此外除了x+x,y+y,z+z操作+支持所有其他任意两个字母的操作。根据group theory，我们给出如下定义

x+x = y + y = z + z = 0

其中的0是一个新的符号，需要满足

x+0=x, y + 0=y, z + 0 = z

操作+的所有属性可以用如下的Cayley表说明

操作+的其他属性也可以从上述Cayley表中导出。三个非零符号x,y,z的和总是0( Does not this remind you of 3-purges? )

(译注：什么是3-purges???).同样我们可以考虑在一个布局中的所有pegs的和(如figure2b-c).例如在central solitaire中，中心

peg首先被去除，这个布局下所有pegs的和就是y，没有peg的那个位置对应的字母。当x跳过y会落到z。所以两个pegs x + y换一个peg z，所以游戏中按照规则移动一个pegs，不会改变布局中所有pegs的和。即在规则范围内，布局中所有peg的和不会随着pegs的移动而变化。进而

?????? 按照规则移动pegs得到的任一布局中pegs的和总是y！

这个结论同样适用于游戏的最后一个布局：只有一个peg余下时的布局。

所以，最后剩下的唯一的peg所有可能的位置只能如figure3a所示。但是并不是所有位置都是可行的。因为初始的布局下同时对中心和线对称，而移动pegs也会保持这种对称。例如，如果最后的peg可能处于figure3b所示的位置，按照对称性，它也就有可能处于figure3c的位置。但figure3c的位置对应的字母时z，不是y，所以figure3c时不可行的位置，如此按照对称性，figure3b也不是可行的位置。而满足所有对称性的位置只有5个，如figure1b所示

译注：

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http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/598441.pdf

这里wiki里给出的一个参考链接，上文的(x,y,z,0)实际是4阶的有限域，操作+是定义在这个有限域上的，有兴趣的可以阅读下

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