本原勾股数组通解的求法，本原勾股数组证明

勾股数我们都很熟悉，a2+b2=c2，可是如何快速找到所有的勾股数组呢？

本原勾股数组a2+b2=c2性质：

1. a,b奇偶不同，c一定是奇数

2. 若b为偶数，c-b和c+b一定是完全平方数

3. 设t>s>=1,且均为奇数，则 a = s ? t , b = ( t ? t ? s ? s ) / 2 , c = ( t ? t + s ? s ) 活动：慈云数据爆款香港服务器，CTG+CN2高速带宽、快速稳定、平均延迟10+ms 速度快，免备案，每月仅需19元！！ 点击查看 / 2 a=s*t,b=(t *t-s *s)/2,c=(t *t+s *s)/2 a=s?t,b=(t?t?s?s)/2,c=(t?t+s?s)/2;其中a为奇数，b为偶数

有上面的性质以后我们就能迅速得到所有的勾股数组。

下面进行证明：

显然：gcd(a,b,c)=1，则由a2+b2=c2得到a,b,c两两互质。如果其中两个不互质则通过等式另一个肯定也含有相同的因子。

证明性质1：

假如a,b同为偶数，则c为偶数，则gcd(a,b,c)!=1，不可能。

假如a,b同为奇数，设a=2x+1,b=2y+1,则c2=4×2+4x+1+4y2+4y+1为偶数，则c必定为偶数，令c=2z，则2z2=2(x2+y2+x+y)+1，奇数不可能等于偶数，因此不成立。

故a,b奇偶不同，则c一定是奇数。QED

证明性质2：

另t=gcd(c-b,c+b),则 t ∣ 2 c , t ∣ 2 b , 若 t > 1 , 则 t / 2 ∣ c , t / 2 ∣ b , 所 以 t / 2 = g c d ( b , c ) = 1 , t = 2 t|2c,t|2b,若t>1,则t/2|c,t/2|b,所以t/2=gcd(b,c)=1,t=2 t∣2c,t∣2b,若t>1,则t/2∣c,t/2∣b,所以t/2=gcd(b,c)=1,t=2所以t=1或者2.

又因为t|(c-b)(c+b)=a*a,a为奇数，所以不可能。因此t=1，c-b和c+b互质。

因为(c-b)(c+b)=aa，c-b,c+b均为完全平方数（由算术基本定理可知，他们的质因子的幂必须是偶数）QED

证明性质3：有以上，我们令s2=c-b,t2=c+b，则a=st,b=(t *t-s *s)/2，c=(t * t+s * s)/2。由a为奇数可得，s,t为奇数。QED

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